3.1 导数和线性近似

Derivative and its linear approximation

注: 这一部分是我在阅读第四章时, 发现自己第三章的基础被跳过因而补的QAQ

This part is mainly about notation.

多元函数的导数

假设$f:R^n\Rightarrow R^m$是一个光滑函数(不一定线性), 其分量为$f^1,\cdots f^m$, 定义其在点$p$上的导数$Df(p) = [Df^1(p),\cdots, Df^m(p)]^T$为

注意分子上的取模定义在$R^m$上, 而分母定义在$R^n$上.

这个定义不利于我们得到$T_p(h): R^n\Rightarrow R^m$的具体形式, 也就无法规定$Df(p) = T_p$了, 实际上直接用$R^n$的基去展开得到$Df(p)$

更具体的说, 每一个$Df^i(p)$都是一个$R^n\Rightarrow R$的线性函数