3.2 切空间的几何定义

Tangent Space: Geometry Defination

切空间的定义

考虑$R^n$上的一点$p$, 若曲线$c(t) = [c^1(t),\cdots, c^n(t)]$经过$p$点, 即$c(0) = p$, 则

则称$v_p$是$p$处的一个切向量, 将$v_p$的集合记为$T_p(R^n)$为我们的切空间.

一个显然的结论是

几何对象和切空间的子空间

在这一部分中, 我们关注$R^n$的子集合$S\subset R^n$以及$T_p(R^n)$的子空间$T_p(S)$.

假设存在$U\subset R^k$以及映射$\phi:U\Rightarrow R^n$, 其codomain $S = \phi(U)$被称为一个参数集合.

进而可以定义子空间$T_p(S)$

比起这样的定义, 其实我们更关心如何找到$T_p(S)$的一组基.

假设$p$在$U$中对应的点为$\tilde{p}$, $p = \phi(\tilde{p})$, 那么定义函数$\tilde{c}_i: I_i \rightarrow U$为

此时

那么对于$c_i = \phi \circ \tilde{c}_i$, $\left(\mathbf{e}_i\right)_p=c_i^{\prime}(0)$作成了$T_p(S)$的基