3.3 切空间的解析定义

切向量的解析定义

对于$R^n$上的一个函数$f: R^n\Rightarrow R$, 我们可以起算其沿着参数曲线$c(t): I\Rightarrow R^n$方向在点$p = c(0)$的方向导数:

可以看出, 和几何定义一致$v = c'(0)$, 而此时$v$代表了一个从经过$p$的可微函数向实数的映射

在$R^n$上, 我们可以写定一组$v$的标准基$[\partial _1, \cdots , \partial_n]$

包含所有$v_p$的集合被记为$T_p(R^n)$

切空间的映射

接下来我们考虑两个子空间$N\subset R^n$, $M\subset R^m$, 存在一个映射$\phi:N\Rightarrow M$, 则可以规定$\phi_*$作为对应切空间的映射$\phi_*: T_p(N)\Rightarrow T_{\phi(p)}(M)$, 其与$v\in T_p(N)$作用的定义为

其中$f$是一个映射$f:M\Rightarrow R$

这听上去很绕:

左边$\phi_*(v)$是$T_{\phi(p)}(M)$中的元素, 其把$f:M\Rightarrow R$作用为一个实数

右边$f\circ \phi:N\Rightarrow R$, $v$是$T_p(N)$中的元素, $v(f\circ \phi)$也是一个数.

$\phi_*v$这个操作称为对切向量$v$的tangent map 或者push forward