3.5 矢量场与积分曲线与流

Vector Field & Integral Curve & Flow

矢量场

在之前的部分中, 我们定义了每一个点$p$上的切空间$T_p(R^n)$, 但是这些切空间都是逐点定义的, 如果我们把所有点对应的切空间的视为一个更大的集合, 则可以定义这个集合称为切丛, 记为$T(R^n)$, 而切丛$T(R^n)$中的元素写为$((p_1,\cdots , p_n ),<v_1,\cdots ,v_n >)$, 其中圆括号表示点的坐标, 尖括号表示向量.

借助于切丛, 我们可以定义矢量场$V:R^n\Rightarrow T(R^n)$的映射, 即规定了每个点$p$对应了一组切向量$v_i(p)$, 这些切向量$v_i(p)$必须关于$p$连续.

矢量场的推出Push Forward

存在映射$\phi:R^n\Rightarrow R^m$, 且$X$是$R^n$上的矢量场, 那么定义$\phi_* X$是$R^m$的矢量场, 其为

借助Jacobbi矩阵可以写为

 

积分曲线

既然给定矢量场后, 空间中的每一个点$p$都对应了一条切向量, 那么是否存在一条曲线$c(t)$其切向量与其经过的每一点的矢量场一致呢. 答案是存在且唯一的, 先看一个例子.

给定$R^2$上的矢量场$X = ((x_1,x_2),<x_1,x_2>)$, 我们求而经过点$p = (p_1, p_2)$的积分曲线$c(t) = (c_1(t), c_2(t))$:

实际上是求解微分方程, 得到

积分曲线的存在性和唯一性, 本质上是一阶线性微分方程组解的存在性和唯一性.

微分同胚映射下的积分曲线

若$T:R^n\Rightarrow R^n$是一个微分同胚, $X$是一个矢量场, $c(t)$是矢量场$X$的积分曲线, 那么$T(c(t))$是矢量场$T_*X$的一条积分曲线

矢量场的流

借助一阶线系微分方程解的存在性和唯一性, 可以定义矢量场$X$对应的流$\phi$

显然流$\phi$是一个微分同胚.