4.1 交换形式与其操作

Alternating form and its opertation

对偶空间

Dual space

如果$V$是一个线性空间, 而$\left[\hat{e}_i\right]$是其一组基, 即

那么可以为每个基向量定义其对偶$\epsilon_i$, 满足

则可以定义$V$的对偶空间$V^* = \text{SPAN}(\epsilon_i)$ .

k-形式

k-Form

一个k-形式是指如下映射$\alpha$

即将线性空间$V$的$k$个向量映射为实数, $k$称为形式的度(degree)

一个k-形式还必须满足:

1. 关于每个分量线性, 例如

2. $k>1$时, 交换两个相邻自变量反号

$V$的所有k-形式作成一个线性空间, 记为$\Lambda^k(V)$

显然, 对偶空间$V^* = \Lambda^1(V)$.

k-形式的性质

由以上定义, 可以推出如下性质:

1. 自变量线性相关则值为0

这一条的平凡结果是如果$\vec{x}_i = \vec{x}_j$, 那么值为0.

k-form的外积(exterior product)

定义$k$个1-形式的外积:

可以证明$\varepsilon_{i_1} \wedge \cdots \wedge \varepsilon_{i_k}$是一个$k$-form

利用外积运算, 可以找到$\Lambda^k(V)$的基:

通过基, 可以确定维数定理

1-form的外积运算满足反交换

k-form的外积通过展开1-form来定义

其中

 

k-form的拉回(Pull back)

$V$是一个n维线性空间, $\alpha$是其的一个$k$-form, $W$是另一个维数为m的线性空间, $\omega \in W$, 存在线性变换$T: W\Rightarrow V$, 那么定义$T$和$\alpha$的pull back运算:

$T^*\alpha$是$W$上的k形式

Pull back有如下运算性质

1. 形式结合律

2. 线性变换交换律

k-form的内积

$V$是一个线性空间, $v\in V$, $\alpha$是其上一个k-form, 那么定义内积(interior product):

$i(v)\alpha$是一个(k-1)-form

内积具有如下性质:

1. 形式结合律:

2. 与pull back的对易关系