4.2 微分形式与其操作

Differential form and its operatation

切空间和对偶空间

Tangent space and dual space

定义切空间$T_p(R^n)$中的元素$v$

利用基矢$\partial_i$, 定义其对偶$dx_i$, 满足

那么其对偶空间

换而言之, $T_p(R^n)$上的1-form作成的集合

$T_p(R^n)$上的k-form

我们注意到了$dx_i$是$T_p(R^n)$上的1-形式, 因此我们可以使用其外积来推得$T_p(R^n)$上的k-形式.

根据我们在4.1中的结论(事实上只是把形式的代数结构套到切空间上), 有

$\Lambda^k(R^n)$上的外微分

类似的, $\Lambda^k(R^n)$有外积, pull back和内积

额外的, 定义外导数

先从一个定义在$R^n$上的函数$f(p): R^n \Rightarrow R$开始(这是一个微分0-形式)

其外导数

注意, $V$是一个vector field, 而$df(V)$得到了一个数, 因此$df: T(R^n)\Rightarrow R$, $df$是一个1-form, 用标准的1-形式基底去展开:

因此, $df(V)$可以写作

这样, 我们定义了一个0-形式的外微分, 而k-形式的外微分也可以通过展开其标准基底后定义:

若一个k-form, $\omega$展开为

那么其外微分的定义是

外微分的性质

1. 线性性

2. 形式结合律

3. 2次外微分为0

可以通过展开来证明3. 3的衍生是称$d\alpha = 0$的$\alpha$为closed, 而存在$\beta$使得$\alpha = d\beta$的$\alpha$是exact的, 二者是等价的, 这一证明依赖了Poincare Lemme, 我也不会...

微分形式的Pull back

假设$f: R^n \Rightarrow R^m$, 而$\alpha \in \Lambda^k(R^m)$, 定义$\alpha$的Pull back:

如果$\alpha$是一个0形式(函数$g$), 那么

注意! $f_*(v)$是对$v$的push forward(由f的Jacobbi矩阵与$v$计算).

Pull back的性质

1. 线性性

2. 形式结合律

3. 外微分交换律

利用以上性质, 可以不借助push forward 来直接计算出$f*\alpha$

更重要的一个定理是, 如果$\Omega$是一个定义在$R^n$是n-形式

则

事实上是$\dim(\Lambda(R^n) ) = 1$, 因此$f^*\Omega \propto \Omega$