4.3 积分微分形式

Integrating Differential Forms

Domain 的指向

Orientation

定义一个$U \subset R^n$作为Domain, 则在$U$上定义了$n$个vector field$B_i$, 每个点$p$的$T_p(R^n)$由$B_i(p)$张成, $U$的指向由这个行列式给出:

与行列式有相同符号的组合称为同向, 有反号的称为反向

n-微分形式的积分

如果$\omega \in \Lambda^n(R^n)$, 展开写为$\omega=a d x_1 \wedge\cdots d x_n$, 那么其积分定义为

微分同胚下的映射

接下来, 我们关注两个domain内的微分同胚映射下的张量$\omega \in \Lambda^n(R^n)$之间的积分关系.

若$U\subset R^n$且$V\subset R^n$, 其间存在一个微分同胚映射$f: U\Rightarrow V$, 并且存在$\omega \in \Lambda^n(U)$, 那么对于$U$, $V$中的对应区域$D\subset U, S\subset V, f(D) = S$, 成立

这看上去是一个性质, 但是这能帮助我们定义k-form的积分

若$\omega \in \Lambda^k(R^n)$, 存在映射$\phi: R^k \Rightarrow R^n$, 且2个domain, $D\subset R^k, S\subset R^n, \phi(D) = S$, 则定义其上$k$-form的积分

高斯-斯托克斯定理

Gauss-Stokes Theorem

若$D\subset R^n$是一个$k$维的domain, 其边界$\partial D$是一个$k-1$维的domain, $\omega$是$\partial D$上的一个$(k-1)$-form, 则有

举例子:

$D = [0\leq r\leq1, 0\leq \theta \leq 2\pi]\subset R^2$, 而$\partial D = [r = 1]$

定义$\omega = r d\theta$

而